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微分方程

约 1300 个字 预计阅读时间 4 分钟

针对学校课程缺失的微分方程的补充学习。主要参考教材为普林斯顿微积分读本。

一、一阶微分方程

可分离变量的一阶微分方程

可分离变量的一阶微分方程形式为:

\[\int g(y)dy = \int f(x)dx \tag{1}\]

解题步骤:

  1. 将方程中的\(\frac{dy}{dx}\)表达式展开为\(\frac{dy}{dx}=\frac{g(y)}{f(x)}\)

  2. 将含\(y\)项和含\(x\)项移到等号两侧,得到 \(\frac{g(y)}{f(x)} = 1\)

  3. 对两边积分:\(\int g(y)dy = \int f(x)dx\)

  4. 求出积分结果:\(G(y) = F(x) + C\)

这里\(G(y)\)和\(F(x)\)分别表示对\(g(y)\)和\(f(x)\)不定积分的结果。

这种方法相当于将变量\(y\)与\(x\)分离,通过求积分得出通解。

一阶线性方程

一阶线性微分方程形式:

\[y'+ p(x)y = q(x) \tag{2}\]

特点:

  1. 含有\(y'\)的一阶导数项

  2. \(y\)项的指数为1,即线性

  3. 系数\(p(x)\)仅与\(x\)相关,\(q(x)\)为任意函数

解题方法:

  1. 寻找积分因子 \(u(x)=e^{\int p(x)dx}\)

  2. 两边同时乘以积分因子\(u(x)\)

  3. 左边变为\(\frac{d}{dx}(u(x)y)\)

  4. 对积分方程求积分，注意右边\(+C\)

最终通解为:

\[y = e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c] \tag{3}\]

需要注意的特殊情况:

  • \(q(x)=0\) 为齐次线性方程

  • \(q(x)\neq 0\) 为非齐次线性方程

方程是否齐次决定是否需要叠加特解

伯努利方程

形如:

\[y'+p(x)y=q(x)y^n \tag{4}\]

解法:

  • 把等式两边都除以\(y^n\),得到:
\[ \frac{y'}{y^n}+\frac{y^{1-n}p(x)}{y^n}=q(x) \tag{5} \]

这里的目的是要把\(y\)的指数化为\(1\),便于后续求解。

  • 让\(y^{1-n}=u\),即令\(u=y^{1-n}\),这是为了用一个新的符号\(u\)来表示\(y^{1-n}\),简化表示。

  • 对\(u=y^{1-n}\)求导,可以得到:

\((1-n)y^{-n}y'=\frac{du}{dx}\)

进一步可以得到

\[ y^{-n}y'=\frac{u'}{1-n}=\frac{1}{1-n}\frac{du}{dx} \tag{6} \]

这一步使用了链式法则,目的是表示出 \(y'\)与\(u'\)的关系,为下一步做准备。

  • 将\((6)\)得到的\(y'\)表达式和\((5)\)的\(\frac{y^{1-n}p(x)}{y^n}\)表达式代入原方程,可以得到:

\(\frac{1}{1-n}\frac{du}{dx}+up(x)=q(x)\)

这一步使原方程化为只包含\(u\)的形式。

  • 对新方程选择合适的解法求解(新方程为一阶线性微分方程)。

主要思路是进行变量替换,将方程转化为更容易解决的形式,再进行后续求解。

常系数微分方程

常系数齐次方程形式:

\[a_n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1 \frac{dy}{dx}+a_0y=f(x) \tag{7}\]

2.1 可降阶方程

2.1.1 \(y''=f(x,y')\)

解法:

令\(y'=P(x)\)

则\(y''=P'(x)\)

代入原方程:\(P'(x)=f(x,P(x))\)

求\(P(x)\)

将\(P(x)\)积分求得通解

2.1.2 \(y''=f(y,y')\)

解法:

令\(y'=P(y)\)

\(y''=\frac{dP}{dy}\frac{dy}{dx}=P\frac{dP}{dy}\)

代入原方程:\(\frac{dP}{dy}=f(y,P(y))\)

求解\(P(y)\)得\(\frac{dy}{dx}\)

对\(P(y)\)积分求得通解

2.2 高阶常系数微分方程

定义:

\[a_n \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1 \frac{dy}{dx}+a_0y=f(x) \tag{8}\]

若:

\(f(x) = 0\),则为齐次方程;

\(f(x) \neq 0\),则为非齐次方程。

高阶常系数齐次微分方程解的结构为:

\[y = c_1y_1(x) + c_2y_2(x) + ... + c_ny_n(x) \tag{9}\]

齐次方程的解法为:

  1. 先将非齐转换为齐,即令\(f(x) = 0\)

  2. 找到特征方程的特征根,假设微分方程为\(y''+2y'+y=0\),特征方程为\(\lambda^2+2\lambda+1=0\),其特征根:\(\lambda_1=\lambda_2=-1\),即\(\lambda\)最高为多少次,那么就有多少个特征根

  3. 通过特征根形式来寻找通解公式。

现在问题转换为了特征根形式,特征根从大方向上来说一共有3类:

  • 每个特征根都是单重根;

  • 有重根;

  • 有复数根。

2.2.1 都是单根

通解为:

\[y=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x}+...+c_ne^{\lambda_n x} \tag{10}\]

2.2.2 有重根

通解为:

\[y=c_1e^{\lambda x}+c_2xe^{\lambda x}+...+c_nx^{n-1}e^{\lambda x}=e^{\lambda x}(c_1+c_2x+...+c_nx^{n-1}) \tag{11}\]

2.2.3 有复数根

\(\lambda = \alpha \pm i \beta\),这里虽然复数是成对出现,但是当做是一个根。

先给出通解形式,再补充点推导过程。

通解:

\[y=c_1e^{\alpha x}cos\beta x+c_2e^{\alpha x}sin\beta x \tag{12}\]

推导过程:

先补充欧拉方程:

\[e^{ix}=cosx+isinx \tag{13}\]

由欧拉公式进行推导,先推导\(\lambda = \alpha + i \beta\):

\[e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}+i\beta x=e^{\alpha x}(cos\beta x+isin\beta x)=e^{\alpha x}cos\beta x+ie^{\alpha x}sin\beta x=c_1e^{\alpha x}cos\beta x+c_2e^{\alpha x}sin\beta x \tag{14}\]

这里\(c_2\)实际上是包含了\(i\)的。

同理,\(\lambda = \alpha - i \beta\)如下:

\[e^{(\alpha-i\beta)x}=e^{\alpha x}-i\beta x=e^{\alpha x}(cos\beta x-isin\beta x)=e^{\alpha x}cos\beta x-ie^{\alpha x}sin\beta x=c_1e^{\alpha x}cos\beta x+c_2e^{\alpha x}sin\beta x \tag{15}\]

因为\(cos(-x)=cosx, sin(-x)=-sinx\),所以可以获得上面公式,这里\(c_2\)是包含了\(-i\)的。

本部分部分笔记参考CSDN