复变函数¶
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复变函数笔记。施工中。完成时间待定。
欧拉公式¶
\[
e^{i\pi}+1=0
\]
\[
e^{ix}=cosx+i \cdot sinx
\tag1
\]
这个公式可以用Taylor公式展开得到证明。
对 \(x\) 取负，我们可以得到：
\[
e^{i(-x)}=cos(x)-i \cdot sin(x)
\tag2
\]
对\((1)\)和\((2)\)相加，我们可以得到：
\[
cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
\]
同样，相减，我们可以得到：
\[
sinx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
\]
复数的三角表示¶
\[
z=x+iy=r \cdot \cos \theta+i \cdot r \cdot \sin \theta
\]
由欧拉公式，我们可以得到：
\[
z=r \cdot e^{i\theta}
\]
其中， \(r=|z|\)，\(\theta=arg \ z\)