马尔可夫矩阵

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形式

马尔科夫矩阵与概率有关。

满足两个特点：

• 所有元素大于等于0

• 按列相加，和为1（事实上，矩阵平方后，此条依然成立）

两个重要性质：

• \(\lambda=1\)是一个特征值
• 所有其他的特征值都小于一

从差分方程看稳态

对差分方程的简单解释:

差分方程是含有函数的差分的方程。它通常描述某种量随时间变化的关系。

例如一个简单的一阶线性差分方程:

\(u_{k+1} = au_k\)

这里\(u_k\)表示该量在第k个时刻的值,\(u_{k+1}\)表示下一个时刻的值。\(a\)是一个常数。

这个方程描述了\(u\)随时间的演变关系。在每个时刻,\(u\)的值都等于上一个时刻的值乘以一个常数\(a\)。

\(u_k = A^ku_0\)这个式子就是矩阵版本的差分方程。

在之前对角化的时候，我们得到了这个方程：

\[ u_k = A^k u_0 = c_1\lambda_1^k x_1 + c_2\lambda_2^k x_2 + ... + c_n\lambda_n^k x_n \]

根据马尔科夫矩阵的特点，\(λ_1 = 1\)，其余\(|λ_𝑖|＜1\)，所以最后次幂运算会收敛于\(u_0\)中的\(c_1x_1\)部分，这就是其稳态性质：马尔科夫矩阵中，若其特征值 \(1\) 所对应的特征向量的元素全为正，则初始值\(u_0\)是正的，那么稳态也是正值。

应用

可以用来解决人口流动的问题，确定最终稳定的人口数量。